La racine n-ième en code
Échappements Unicode, LaTeX et la formule réelle x^(1/n) en JavaScript, Python, Excel et une demi-douzaine d'autres langages — y compris pourquoi indices pairs et impairs se comportent complètement différemment sur les nombres négatifs.
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La racine quatrième, ∜, est le point de code Unicode U+221C et s'insère dans un littéral de chaîne comme n'importe quel autre échappement. Tout autre indice doit être construit à partir de deux échappements : un chiffre en exposant suivi de U+221A, le radical de base.
"\u221C" // ∜"\u221c" # ∜"\u2075\u221A" // ⁵√∜ (pas d'entité nommée)content: "\221C";LaTeX
\sqrt affiche un radical correct avec une barre au-dessus de son argument en LaTeX, MathJax et KaTeX — la valeur entre crochets définit l'indice, qu'il s'agisse d'un nombre littéral ou de la lettre n.
\sqrt[n]{x}\sqrt[5]{x}\sqrt[3]{x}Calculer une racine n-ième en code
Contrairement à la racine carrée ou cubique, aucun langage courant ne fournit de fonction « racine n-ième » dédiée — chacun d'eux la calcule comme x élevé à la puissance 1/n. Voici la syntaxe pour chaque langage sur la racine 5e de 32.
Math.pow(32, 1 / 5);
// 2
Math.pow(-243, 1 / 5);
// NaN — alors que la vraie réponse est -3, voir les pièges32 ** (1/5)
# 2.0
(-243) ** (1/5)
# nombre complexe ! voir les pièges ci-dessous=A1^(1/B1)
=SIGN(A1)*ABS(A1)^(1/B1) // sûr pour A1 négatif, B1 impairMath.pow(32, 1.0 / 5);
// 2.0#include <math.h>
pow(32, 1.0 / 5);
// 2pow(32, 1 / 5);
// 2SELECT POWER(32, 1.0/5);
-- 2import Foundation
pow(32.0, 1.0 / 5.0)
// 2.032 ^ (1/5)
# 2Pièges à connaître
Indice pair ou impair : cela change si les nombres négatifs ont une réponse réelle
La racine 5e de -243 est un nombre réel, -3, de la même façon que fonctionnent les racines cubiques de nombres négatifs — n'importe quel indice impair. La racine 4e de -16 n'est pas du tout un nombre réel, de la même façon que les racines carrées de nombres négatifs ne le sont pas — n'importe quel indice pair se comporte ainsi. Que x^(1/n) ait même un sens pour un x négatif dépend entièrement de si n est impair ou pair, avant même d'aborder la façon dont un langage précis l'implémente.
Les fonctions de puissance génériques se trompent sur les bases négatives même quand une réponse réelle existe
Math.pow(-243, 1/5) renvoie NaN en JavaScript, alors que la réponse mathématiquement correcte est -3 — Math.pow() calcule les exposants fractionnaires via des logarithmes, non définis pour des bases négatives, et ne peut donc pas distinguer un indice impair d'un indice pair. L'opérateur ** de Python, (-243) ** (1/5), renvoie un nombre complexe plutôt que -3, pour la même raison sous-jacente. Aucun des deux langages n'a de fonction « racine n-ième » dédiée comme JavaScript a Math.cbrt() spécifiquement pour la racine cubique — il faut soit écrire une fonction utilitaire qui vérifie si n est impair, soit se limiter à des entrées non négatives.
Une fonction utilitaire fiable pour la racine n-ième doit tester le signe et la parité
Une version fiable ressemble à : si x est négatif, ne calculez un résultat réel que lorsque n est impair, et dans ce cas prenez la racine n-ième de la valeur absolue puis réappliquez le signe négatif — Math.sign(x) * Math.abs(x) ** (1/n) en JavaScript, ou math.copysign(abs(x) ** (1/n), x) en Python. Pour un x négatif avec un n pair, il n'existe aucun résultat réel à renvoyer — décidez à l'avance si votre code doit lever une erreur, renvoyer NaN, ou renvoyer une valeur complexe.
Excel et Google Sheets n'ont pas de fonction NTHROOT
Il n'existe aucune formule dédiée dans ces deux applications. =A1^(1/B1) fonctionne quand le résultat doit être réel et l'entrée non négative, mais renvoie une erreur #NOMBRE! pour un A1 négatif combiné à certaines valeurs de B1. =SIGN(A1)*ABS(A1)^(1/B1) corrige le cas où B1 est impair ; elle ne produira toujours pas de résultat réel quand B1 est pair et A1 négatif, car aucun n'existe.
La précision en virgule flottante s'aggrave avec des indices plus élevés
32 ** (1/5) peut tomber sur 1.9999999999999998 au lieu d'exactement 2 dans certains langages, et l'écart tend à croître avec des indices plus élevés puisque 1/n lui-même est souvent une fraction binaire imprécise. Arrondissez avant de comparer un résultat de racine n-ième pour une égalité exacte, la même précaution qui s'applique aux racines carrées mais légèrement plus marquée.
Besoin seulement du symbole ?
La page des formats à copier propose chaque version prête à coller — le caractère dédié de la racine quatrième, les symboles d'indices supérieurs composés, et la formule de tableur — sans éditeur de code.
Ouvrir les formats à copierQuestions fréquentes
Quel est l'échappement Unicode du symbole racine n-ième en code ?
Pour la racine quatrième spécifiquement, utilisez \u221C (JavaScript, Java, C#) ou \u221c (Python) — les deux donnent ∜. Pour tout autre indice, concaténez un échappement de chiffre en exposant avec \u221A (le radical de base) : \u2075\u221A produit ⁵√ en JavaScript, par exemple.
Comment calculer une racine n-ième en JavaScript ?
Utilisez Math.pow(x, 1 / n) — par exemple Math.pow(32, 1/5) renvoie 2. Cela fonctionne bien pour x non négatif. Pour un x négatif avec un n impair, Math.pow() renvoie incorrectement NaN alors qu'une réponse réelle existe ; il faut une fonction utilitaire qui vérifie d'abord le signe et la parité de n (voir les pièges ci-dessous).
Comment calculer une racine n-ième en Python ?
Pour les nombres non négatifs, x ** (1/n) ou math.pow(x, 1/n) fonctionnent tous deux, par exemple 32 ** (1/5) renvoie 2.0. Pour un x négatif, x ** (1/n) renvoie un nombre complexe plutôt que réel, même quand n est impair et qu'une réponse réelle existe — utilisez math.copysign(abs(x) ** (1/n), x) pour obtenir un résultat réel dans ce cas.
Quelle est la formule Excel ou Google Sheets pour une racine n-ième ?
Aucun des deux n'a de fonction NTHROOT intégrée. Utilisez =A1^(1/B1), avec l'indice dans B1. Si A1 peut être négatif et B1 impair, utilisez plutôt =SIGN(A1)*ABS(A1)^(1/B1), car une simple formule de puissance renvoie sinon une erreur pour une base négative.
Quelle est la commande LaTeX pour une racine n-ième ?
\sqrt[n]{x} pour un indice variable, ou remplacez n par un nombre précis — \sqrt[5]{x} pour une racine 5e, \sqrt[12]{x} pour une racine 12e. En retirant complètement l'argument entre crochets, \sqrt{x} affiche une racine carrée simple. Fonctionne en LaTeX, MathJax et KaTeX.
Pourquoi Math.pow(-243, 1/5) renvoie-t-il NaN plutôt que -3 ?
Math.pow() (et son équivalent dans la plupart des langages de la famille C) calcule les exposants fractionnaires via des logarithmes, non définis pour une base négative, que l'indice soit pair ou impair — elle renvoie donc NaN dans tous les cas plutôt que de reconnaître qu'une racine d'indice impair d'un nombre négatif est une valeur réelle bien définie. Les fonctions dédiées comme Math.cbrt() gèrent cela correctement parce qu'elles sont implémentées séparément pour cet indice précis et courant ; il n'existe pas d'équivalent intégré pour une racine n-ième arbitraire.