N-te Wurzel im Code
Unicode-Escapes, LaTeX und die tatsächliche Formel x^(1/n) für JavaScript, Python, Excel und ein halbes Dutzend weiterer Sprachen — inklusive warum sich ungerade und gerade Indizes bei negativen Zahlen völlig unterschiedlich verhalten.
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Die 4. Wurzel, ∜, ist der Unicode-Codepunkt U+221C und lässt sich wie jeder andere Escape in ein Stringliteral einfügen. Jeder andere Index muss aus zwei Escapes aufgebaut werden: einer hochgestellten Ziffer gefolgt von U+221A, dem Basis-Wurzelzeichen.
"\u221C" // ∜"\u221c" # ∜"\u2075\u221A" // ⁵√∜ (keine benannte Entity)content: "\221C";LaTeX
\sqrt erzeugt in LaTeX, MathJax und KaTeX ein echtes Wurzelzeichen mit Balken über dem Argument — der geklammerte Wert legt den Index fest, egal ob es eine konkrete Zahl oder der Buchstabe n ist.
\sqrt[n]{x}\sqrt[5]{x}\sqrt[3]{x}Eine n-te Wurzel im Code berechnen
Anders als bei Quadrat- oder Kubikwurzel bietet keine verbreitete Sprache eine eigene „n-te Wurzel“-Funktion — jede von ihnen berechnet x hoch 1/n. Hier ist die Syntax für jede Sprache anhand der 5. Wurzel von 32.
Math.pow(32, 1 / 5);
// 2
Math.pow(-243, 1 / 5);
// NaN — obwohl die reelle Antwort -3 ist, siehe Stolperfallen32 ** (1/5)
# 2.0
(-243) ** (1/5)
# komplex! siehe Stolperfallen unten=A1^(1/B1)
=SIGN(A1)*ABS(A1)^(1/B1) // sicher für negatives A1, ungerades B1Math.pow(32, 1.0 / 5);
// 2.0#include <math.h>
pow(32, 1.0 / 5);
// 2pow(32, 1 / 5);
// 2SELECT POWER(32, 1.0/5);
-- 2import Foundation
pow(32.0, 1.0 / 5.0)
// 2.032 ^ (1/5)
# 2Wissenswerte Stolperfallen
Ungerader vs. gerader Index entscheidet, ob negative Zahlen überhaupt eine reelle Antwort haben
Die 5. Wurzel von -243 ist eine reelle Zahl, -3, genauso wie bei Kubikwurzeln negativer Zahlen — bei jedem ungeraden Index funktioniert das so. Die 4. Wurzel von -16 ist überhaupt keine reelle Zahl, genauso wie Quadratwurzeln negativer Zahlen keine sind — jeder gerade Index verhält sich so. Ob x^(1/n) für negatives x überhaupt sinnvoll ist, hängt allein davon ab, ob n ungerade oder gerade ist, noch bevor man sich ansieht, wie eine bestimmte Sprache es implementiert.
Allgemeine Potenzfunktionen liefern bei negativer Basis ein falsches Ergebnis, selbst wenn eine reelle Antwort existiert
Math.pow(-243, 1/5) gibt in JavaScript NaN zurück, obwohl die mathematisch korrekte Antwort -3 ist — Math.pow() berechnet gebrochene Exponenten über Logarithmen, die für negative Basen nicht definiert sind, sodass es einen ungeraden Index nicht von einem geraden unterscheiden kann. Pythons (-243) ** (1/5) gibt aus demselben Grund eine komplexe Zahl statt -3 zurück. Keine der beiden Sprachen hat eine eigene „n-te Wurzel“-Funktion, wie JavaScript mit Math.cbrt() speziell für Kubikwurzeln — Sie schreiben entweder eine Hilfsfunktion, die prüft, ob n ungerade ist, oder beschränken sich auf nicht-negative Eingaben.
Eine sichere Hilfsfunktion für die n-te Wurzel muss nach Vorzeichen und Parität unterscheiden
Eine zuverlässige Version sieht so aus: Ist x negativ, berechnen Sie nur dann ein reelles Ergebnis, wenn n ungerade ist, und nehmen in diesem Fall die n-te Wurzel des Absolutwerts und wenden das negative Vorzeichen wieder an — Math.sign(x) * Math.abs(x) ** (1/n) in JavaScript, oder math.copysign(abs(x) ** (1/n), x) in Python. Bei negativem x mit geradem n gibt es überhaupt kein reelles Ergebnis — entscheiden Sie im Voraus, ob Ihr Code einen Fehler auslösen, NaN zurückgeben oder einen komplexen Wert liefern soll.
Excel und Google Sheets haben keine NTHROOT-Funktion
Es gibt in keiner der beiden Anwendungen eine dedizierte Formel dafür. =A1^(1/B1) funktioniert, wenn das Ergebnis reell und die Basis nicht negativ ist, liefert aber bei negativem A1 in Kombination mit bestimmten B1-Werten einen #ZAHL!-Fehler. =SIGN(A1)*ABS(A1)^(1/B1) behebt den Fall, dass B1 ungerade ist; es liefert immer noch kein reelles Ergebnis, wenn B1 gerade und A1 negativ ist, weil es keins gibt.
Gleitkomma-Ungenauigkeit summiert sich bei höheren Indizes
32 ** (1/5) kann in manchen Sprachen 1.9999999999999998 statt genau 2 ergeben, und die Abweichung wächst tendenziell mit höheren Indizes, da 1/n selbst oft ein ungenauer binärer Bruch ist. Runden Sie, bevor Sie ein Ergebnis der n-ten Wurzel auf exakte Gleichheit prüfen — dieselbe Vorsicht, die auch für Quadratwurzeln gilt, nur etwas ausgeprägter.
Brauchen Sie nur das Symbol selbst?
Die Seite mit den Kopierformaten bietet jede Version zum Einfügen — das dedizierte Zeichen der 4. Wurzel, zusammengesetzte Symbole für höhere Indizes und die Tabellenkalkulationsformel — kein Code-Editor nötig.
Kopierformate öffnenHäufig gestellte Fragen
Was ist der Unicode-Escape für ein Zeichen der n-ten Wurzel im Code?
Für die 4. Wurzel speziell nutzen Sie \u221C (JavaScript, Java, C#) oder \u221c (Python) — beide ergeben ∜. Für jeden anderen Index verketten Sie einen Escape für die hochgestellte Ziffer mit \u221A (dem Basis-Wurzelzeichen): \u2075\u221A ergibt in JavaScript zum Beispiel ⁵√.
Wie berechne ich eine n-te Wurzel in JavaScript?
Nutzen Sie Math.pow(x, 1 / n) — zum Beispiel gibt Math.pow(32, 1/5) den Wert 2 zurück. Das funktioniert sauber für nicht-negatives x. Bei negativem x mit ungeradem n gibt Math.pow() fälschlicherweise NaN zurück, obwohl eine reelle Antwort existiert; Sie brauchen eine Hilfsfunktion, die zuerst Vorzeichen und Parität von n prüft (siehe die Stolperfallen unten).
Wie berechne ich eine n-te Wurzel in Python?
Bei nicht-negativen Zahlen funktionieren sowohl x ** (1/n) als auch math.pow(x, 1/n), z. B. gibt 32 ** (1/5) den Wert 2.0 zurück. Bei negativem x wird es kompliziert: x ** (1/n) gibt eine komplexe statt einer reellen Zahl zurück, selbst wenn n ungerade ist und eine reelle Antwort existiert — nutzen Sie math.copysign(abs(x) ** (1/n), x), um in diesem Fall ein reelles Ergebnis zu erhalten.
Wie lautet die Excel- oder Google-Sheets-Formel für eine n-te Wurzel?
Keine der beiden Anwendungen hat eine eingebaute NTHROOT-Funktion. Nutzen Sie =A1^(1/B1), mit dem Index in B1. Wenn A1 negativ sein kann und B1 ungerade ist, nutzen Sie stattdessen =SIGN(A1)*ABS(A1)^(1/B1), da eine einfache Potenzformel sonst bei negativer Basis einen Fehler liefert.
Wie lautet der LaTeX-Befehl für eine n-te Wurzel?
\sqrt[n]{x} für einen variablen Index, oder ersetzen Sie n durch eine bestimmte Zahl — \sqrt[5]{x} für eine 5. Wurzel, \sqrt[12]{x} für eine 12. Lässt man das geklammerte Argument ganz weg, rendert \sqrt{x} eine einfache Quadratwurzel. Funktioniert in LaTeX, MathJax und KaTeX.
Warum gibt Math.pow(-243, 1/5) NaN statt -3 zurück?
Math.pow() (und das Äquivalent in den meisten C-ähnlichen Sprachen) berechnet gebrochene Exponenten über Logarithmen, die für eine negative Basis unabhängig davon, ob der Index ungerade oder gerade ist, nicht definiert sind — daher gibt es durchgehend NaN zurück, statt zu erkennen, dass eine Wurzel mit ungeradem Index aus einer negativen Zahl ein wohldefinierter reeller Wert ist. Dedizierte Kubikwurzel-Funktionen wie Math.cbrt() behandeln das korrekt, weil sie separat für diesen einen bestimmten, häufigen Index implementiert sind; ein entsprechendes eingebautes Äquivalent für eine beliebige n-te Wurzel gibt es nicht.